{"id":15487,"date":"2018-10-11T09:15:55","date_gmt":"2018-10-11T07:15:55","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathsly.it\/wordpress\/?p=15487"},"modified":"2026-04-20T12:57:20","modified_gmt":"2026-04-20T10:57:20","slug":"regressione-lineare-multipla","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathsly.it\/wordpress\/regressione-lineare-multipla\/","title":{"rendered":"Regressione lineare multipla"},"content":{"rendered":"\n

Da cosa nasce il modello di regressione lineare multipla<\/strong>? Quali sono le problematiche<\/strong> da tenere presenti quando si usa una regressione lineare con regressori multipli? Perch\u00e9 si parla di metodo dei minimi quadrati o OLS? <\/p>\n\n\n\n

Per poter rispondere a queste domande, partiamo da una considerazione preliminare. Sappiamo che la vita di ogni giorno non \u00e8 esattamente una combinazione lineare tra cause ed effetti. All’interno di ogni fenomeno, vi sono dei fattori, (a volte noti, a volte sconosciuti) che fanno s\u00ec che un determinato evento avvenga o non avvenga.<\/p>\n\n\n\n

In statistica, la relazione diretta<\/strong> (intendendo con il termine “diretta” la relazione lineare) tra le variabili viene spesso spiegata usando lo strumento della regressione lineare.<\/p>\n\n\n\n

Dalla regressione lineare semplice a quella multipla<\/h2>\n\n\n\n

In generale, quando si cerca la causa di un determinato fenomeno, si immagina che ci sia un solo elemento che ha dato origine a quell’evento. Dunque si suppone che vi sia una relazione lineare tra una variabile x<\/em> ed una variabile y<\/em>. Questa relazione in statistica prende il nome di regressione lineare<\/a><\/strong> semplice<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Accade per\u00f2 che non sempre, anzi possiamo dire nella maggior parte dei casi, il verificarsi di un evento sia dovuto ad una sola causa, ma che vi sono  pi\u00f9 cause<\/strong>, tutte ugualmente valide, a far s\u00ec che quel determinato evento accada.<\/p>\n\n\n\n

In questi casi utilizzare la regressione lineare semplice \u00e8 riduttivo, in quanto per spiegare la variabile y<\/em> utilizziamo una sola informazione x<\/em>, perdendo l’apporto di tutte le altre. Questo in statistica si traduce nella famosa “distorsione da variabili omesse<\/strong>“. Si tratta in sostanza di un problema di mancanza di uso delle informazioni (vale a dire di quelle variabili x<\/em>) che se rilevate, possono aiutarci a spiegare la variabilit\u00e0 della y<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Lo strumento che consente di eliminare le “distorsioni da variabili omesse” prende il nome di regressione lineare multipla<\/strong> o regressione lineare con regressori multipli<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Definizione di regressione lineare multipla<\/h2>\n\n\n\n

L’idea principale della regressione lineare multipla \u00e8 quella di colmare la mancanza di informazioni<\/strong> che determina una distorsione nella corretta identificazione della variabile y<\/em>. In altri termini, la regressione con pi\u00f9 regressori consente, ovviamente se i dati sono disponibili, di misurare l’effetto<\/strong> di una specifica variabile xi<\/sub><\/em> sulla variabile y<\/em>, tenendo costanti le altre variabili indipendenti.<\/p>\n\n\n\n

Formalmente il modello di regressione lineare multipla include pi\u00f9 regressori<\/strong> xi<\/sub><\/em> ed associa a ciascun regressore un coefficiente \u03b2i<\/sub><\/em>. Il coefficiente \u03b21<\/sub><\/em> ad esempio, rappresenta la variazione attesa<\/strong> della variabile dipendente y<\/em> associata ad una variazione unitaria di x1<\/sub><\/em>, tenendo costanti gli altri regressori. Tutti i regressori si interpretano in questo modo.<\/p>\n\n\n\n

Stimatore della regressione lineare multipla e assunzioni del modello<\/h2>\n\n\n\n

I coefficienti del modello di regressione lineare multipla possono essere stimati tramite lo stimatore classico OLS (ordinary least squares<\/em>)<\/strong>, anche noto come “stimatore dei minimi quadrati ordinari<\/strong>“. L’ordinary least squares<\/strong><\/em> \u00e8 un metodo molto efficace<\/strong> per stimare l’intercetta<\/strong> e la pendenza<\/strong> della retta di regressione. Questo stimatore infatti determina i coefficienti beta scegliendo quelli che minimizzano la somma dei quadrati degli errori.<\/p>\n\n\n\n

Assunzioni dello stimatore Ordinary Least Squares<\/h3>\n\n\n\n

Affinch\u00e8 gli stimatori<\/strong> OLS siano attendibili<\/strong> (cio\u00e8 non distorti) \u00e8 necessario che essi rispettino quattro assunzioni:<\/p>\n\n\n\n