{"id":18317,"date":"2019-05-16T09:38:36","date_gmt":"2019-05-16T07:38:36","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathsly.it\/wordpress\/?p=18317"},"modified":"2026-04-04T08:15:34","modified_gmt":"2026-04-04T06:15:34","slug":"come-si-calcola-il-coefficiente-di-determinazione-r-quadro","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathsly.it\/wordpress\/come-si-calcola-il-coefficiente-di-determinazione-r-quadro\/","title":{"rendered":"Come si calcola il coefficiente di determinazione: R quadro (R2)"},"content":{"rendered":"\n

Riprendiamo in questo articolo il concetto di coefficiente di determinazione (vedi precedente post<\/a>) imparando come si calcola l’R2<\/sup>. Innanzitutto precisiamo che il coefficiente \u00e8 una delle due misure di bont\u00e0 di adattamento dello stimatore OLS. Esso ha il compito di calcolare quanto la stima OLS della retta di regressione multipla<\/a> \u00e8 in grado di descrivere i dati. Nell’analisi di regressione esistono due forme di R2: quello classico e quello cd. “corretto”.<\/p>\n\n\n\n

Definizione e calcolo R2<\/sup><\/h3>\n\n\n\n

In termini statistici esso \u00e8 dato dalla frazione della varianza campionari di yi<\/sub><\/em> predetta dai regressori xi<\/sub><\/em>. In formule matematiche esso \u00e8 dato dal rapporto tra due somme di quadrati:<\/p>\n\n\n\n

R2<\/sup> = ESS\/TSS<\/p>\n\n\n\n

in cui ESS \u00e8 la somma spiegata dei quadrati e TSS \u00e8 la somma totale dei quadrati. <\/p>\n\n\n\n

La somma spiegata dei quadrati (ESS) \u00e8 data dalla somma delle differenze tra  i valori predetti<\/strong> di y<\/strong> e la media della stessa variabile dipendente. <\/p>\n\n\n\n

La somma totale dei quadrati (TSS) \u00e8 invece data dalla somma delle differenze tra i valori originari di y <\/strong>e la media della stessa variabile.<\/p>\n\n\n\n

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Hai notato la differenza tra le due somme? Rivedi le due definizioni ponendo attenzione alla due parti in grassetto<\/mark>.<\/p>\n\n\n\n

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La formula pu\u00f2 essere migliorata prendendo in considerazione la somma dei quadrati dei residui SSR, per cui si ha che:<\/p>\n\n\n\n

R2<\/sup> = 1 – (SSR\/TSS)<\/p>\n\n\n\n

in cui SSR \u00e8 la somma dei quadrati dei residui.<\/p>\n\n\n\n

Definizione e calcolo R2<\/sup> corretto<\/h3>\n\n\n\n

L’R2<\/sup> corretto \u00e8 una versione modificata dell’R2<\/sup> classico ed \u00e8 utilizzato per deflazionare l’R2<\/sup> cos\u00ec che aggiungendo una variabile l’aumento del valore del coefficiente di determinazione sia realmente un miglioramento del modello di regressione e non un mero effetto numerico che sovrastima la bont\u00e0 di adattamento. Il vantaggio dell’R2<\/sup> corretto \u00e8 che risente positivamente dell’aggiunta di un nuovo regressore solo quando questo consente un effettivo miglioramento del modello. Ci\u00f2 \u00e8 possibile grazie alla sua formulazione matematica:<\/p>\n\n\n\n

R2<\/sup> adj = 1 – ((n-1\/n-k-1) \u00b7 (SSR\/TSS))<\/p>\n\n\n\n

in cui n<\/em> \u00e8 la numerosit\u00e0 campionaria e k<\/em> \u00e8 il numero dei regressori.<\/p>\n\n\n\n

Perch\u00e9 utilizzare la forma corretta (nota come adjusted<\/em>?<\/h3>\n\n\n\n

Abbiamo detto che il coefficiente di determinazione nella forma “corretta” consente di avere una bont\u00e0 di adattamento del modello che sia non inflazionata dal numero dei regressori utilizzati. Tale evidenza discende dalla stessa formulazione matematica:<\/p>\n\n\n\n