{"id":18565,"date":"2019-08-22T08:48:37","date_gmt":"2019-08-22T06:48:37","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathsly.it\/wordpress\/?p=18565"},"modified":"2026-04-04T08:14:41","modified_gmt":"2026-04-04T06:14:41","slug":"sviluppo-del-binomio-calcolare-i-coefficienti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathsly.it\/wordpress\/sviluppo-del-binomio-calcolare-i-coefficienti\/","title":{"rendered":"Come calcolare i coefficienti del binomio"},"content":{"rendered":"

Dopo aver appreso il calcolo letterale e la risoluzione delle espressioni con le lettere, il passo successivo per ogni studente che si avvicina allo studio dell’algebra, \u00e8 quello di imparare a risolvere il quadrato del binomio ed il cubo del binomio applicando delle semplici regole. Ma come identificare i coefficienti di un binomio elevato alla quarta, alla quinta e cos\u00ec via? Per rispondere a questo, possiamo utilizzare due strumenti: il triangolo di Tartaglia ed il teorema del binomio.<\/p>\n

Ripetiamo le regole<\/h2>\n

Risolvere il quadrato del binomio \u00e8 un passaggio abbastanza immediato, in quanto la regola \u00e8 facilmente memorizzabile e sebbene con qualche difficolt\u00e0 iniziale, anche facilmente applicabile.<\/p>\n

\n

“Il quadrato di un binomio \u00e8 un trinomio formato dal quadrato del primo termine, pi\u00f9 o meno (a seconda del segno) il doppio prodotto del primo per il secondo termine, pi\u00f9 il quadrato del secondo termine”.<\/p>\n<\/blockquote>\n

Una regola molto semplice che in formule si traduce cos\u00ec:<\/p>\n

[latex]\\left ( x\\pm y \\right )^{2}=x^{2}\\pm 2xy+y^{2}[\/latex]\n

La regola del cubo del binomio \u00e8 altrettanto semplice:<\/p>\n

\n

“Il cubo di un binomio \u00e8 un quadrinomio formato dal cubo del primo termine, pi\u00f9 o meno il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo termine, pi\u00f9 il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, pi\u00f9 o meno il cubo del secondo termine”.<\/p>\n<\/blockquote>\n

In formule si ha:<\/p>\n

[latex]\\left ( x\\pm y \\right )^{3}=x^{3}\\pm 3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}[\/latex]\n

Il problema…<\/h2>\n

Come hai visto l’applicazione delle due regole \u00e8 molto semplice e dopo aver appreso le formule, la risoluzione \u00e8 immediata. Ma cosa succede se ti viene richiesto di risolvere il seguente binomio?<\/p>\n

[latex]\\left ( x+ y \\right )^{4}[\/latex]\n

Oppure il seguente?<\/p>\n

[latex]\\left ( x+ y \\right )^{5}[\/latex]\n

Per rispondere abbiamo due strade possibili: il triangolo di Tartaglia e il teorema del binomio. In questo articolo ti spiegher\u00f2 il teorema del binomio e la relativa dimostrazione per induzione.<\/p>\n

La soluzione: teorema del binomio<\/h2>\n

Il teorema del binomio afferma che:<\/p>\n

[latex]\\left ( x+ y \\right )^{n}=\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}[\/latex]\n

ossia che, dato un binomio elevato ad n<\/em>, esso \u00e8 pari alla sommatoria per k<\/em> che va da 0<\/em> ad n<\/em> del coefficiente binomiale di n<\/em> su k<\/em> moltiplicato per x<\/em> elevato a k<\/em> e per y<\/em> elevato ad n<\/em> meno k<\/em>.<\/p>\n

Dimostriamo che il teorema \u00e8 vero usando il principio di induzione.<\/p>\n

Suppongo che il teorema sia vero per\u00a0n = 1<\/em>, per cui la formula si riduce a:<\/p>\n

[latex]\\left ( x+ y \\right )^{1}=\\binom{1}{0}x^{0}y^{1}+\\binom{1}{1}x^{1}y^{0}=y+x[\/latex]\n

Ne consegue che il teorema per\u00a0n = 1<\/em> \u00e8 verificato.<\/p>\n

Suppongo che il teorema sia vero per\u00a0n-1\u00a0<\/em>e dunque verifico che esso \u00e8 vero per\u00a0n<\/em>. Si ha:<\/p>\n

[latex]\\left ( x+ y \\right )^{n}=(x+y)(x+y)^{n-1}=[\/latex]\n

[latex]=(x+y)\\sum_{k=0}^{n-1}\\binom{n-1}{k}x^{k}y^{n-1-k}=[\/latex]\n

[latex]=\\sum_{k=0}^{n-1}\\binom{n-1}{k}x^{k+1}y^{n-1+k}+\\sum_{k=0}^{n-1}\\binom{n-1}{k}x^{k}y^{n-k}=[\/latex]\n

Poniamo dunque\u00a0i = k+1 <\/i>nel\u00a0primo membro e\u00a0i = k <\/em>nel secondo membro dell’ultima somma, per cui si ottiene:<\/p>\n

[latex](x+y)^{n}=\\sum_{i=1}^{n}\\binom{n-1}{i-1}x^{i}y^{n-i}+\\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}y^{n-1}=[\/latex]\n

[latex]=x^{n}+\\sum_{i=1}^{n-1}\\left [ \\binom{n-1}{i-1}+\\binom{n-1}{i} \\right ]x^{i}y^{n-i}+y^{n}=[\/latex]\n

[latex]=x^{n}+\\sum_{i=1}^{n-1}\\binom{n}{i}x^{i}y^{n-i}+y^{n}=[\/latex]\n

[latex]=\\sum_{i=0}^{n}\\binom{n}{i}x^{i}y^{n-i}[\/latex]\n

avendo posto che:<\/p>\n

[latex]\\binom{n}{i}=\\binom{n-1}{i-1}+\\binom{n-1}{i}[\/latex]\n

\n

Conclusione<\/h2>\n

Dunque, applicando la regolare, trovo che:<\/p>\n

[latex](x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{4}+y^{4}[\/latex]\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dopo aver appreso il calcolo letterale e la risoluzione delle espressioni con le lettere, il passo successivo per ogni studente che si avvicina allo studio dell’algebra, \u00e8 quello di imparare a risolvere il quadrato del binomio ed il cubo del binomio applicando delle semplici regole. 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Mathsly \u00e8 uno studio di consulenza statistica e matematica, il cui scopo \u00e8 elaborare analisi statistiche e fornire assistenza e supporto statistico per gli\u00a0studi di ricerca e pubblicazioni scientifiche. Periodicamente il sito pubblica guide e articoli per spiegare gli aspetti pi\u00f9 interessanti della statistica medica, della ricerca medica, dell'econometria ed in generale della ricerca scientifica. Puoi trovare informazioni sui principali indici statistici (e.g. media, mediana, deviazione standard, ...) e sugli strumenti pi\u00f9 idonei a dimostrare le ipotesi di ricerca e a capire molti concetti statistici (e.g. p-value, regressioni, sensibilit\u00e0, specificit\u00e0, ...). Pubblico regolarmente articoli in biostatistica, econometria, statistica medica, ed in molti altri settori di applicazione della matematica e della statistica e, pi\u00f9 in generale, nella ricerca scientifica. Se preferisci \\\"far fare\\\" ad uno professionista, sono la persona giusta per te. Posso aiutarti ad elaborare i dati e la tua analisi statistica, anche nel caso ti servisse per pubblicazione scientifica sulle riviste pi\u00f9 importanti del tuo settore di ricerca.\u00a0Le mie conoscenze nell'ambito statistico e matematico mi permettono di portare avanti collaborazioni continuative con universit\u00e0 e centri ricerca, italiani ed internazionali. Puoi visionare alcune delle pubblicazioni scientifiche quale co-autore nella pagina \\\"Le mie pubblicazioni\\\" o scorrere le recensioni dei clienti con i quali ho collaborato. Inoltre, grazie all'esperienza acquisita nel campo della ricerca, posso aiutarti nellastesura e\\\/o correzione del tuo testo scientifico, anche in inglese, o a scrivere il protocollo di ricerca per il tuo studio. 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