Modelli matematici e Coronavirus

Una delle domande più frequenti di questi giorni è: Si può calcolare matematicamente l’evoluzione dell’epidemia da coronavirus? La risposta è sì. La matematica ha strumenti fortissimi per fare questo tipo di previsioni attraverso modelli matematici.

Un modello matematico è la combinazione di ipotesi, variabili e parametri. Lo scopo di un modello è quello di predire l’evoluzione dell’epidemia e dunque di identificare le strategie più opportune per far diminuire la trasmissione. Costruire un modello matematico significa dunque formulare delle relazioni tra i fattori determinanti l’epidemia.

Tale “dote” della matematica non è un prodigio o una magia per pochi adepti. Esso è il risultato di una serie di passaggi logici, performanti quanto logicamente perfetti, scritti in formule matematiche e, in alcuni casi, facilmente accessibili a chiunque conosca un pò di algebra (polinomi, equazioni e disequazioni, …). I modelli matematici fanno uso di tre elementi: matematica, statistica e probabilità.

Vediamo dunque come si costruisce il modello matematico SIR per le epidemie.

Un piccolo accenno di storia

Il primo modello matematico in ambito epidemiologico risale al 1762 ed è opera di Daniel Bernoulli, un matematico svizzero. Lo scopo del modello deterministico presentato da Bernoulli era spiegare le modalità di diffusione del vaiolo e supportare così la campagna di vaccinazione.

Tra i modelli matematici in ambito epidemiologico, quello più semplice per la valutazione della diffusione dell’epidemie è il modello SIR (Suscettibili Infetti Rimossi), ideato da Kermack e McKendrick negli anni ’20 per spiegare la rapida diffusione e la successiva decrescita di alcune epidemie, come quella avvenuta a Londra nel periodo 1665-1666.

Il modello SIR.

Il modello SIR è molto semplice ed ha come idea base quella di misurare un valore numerico (Rt) che permetta di spiegare la dinamica dell’epidemia.

Come si trova Rt?

Per identificare il valore di Rt dobbiamo porre delle condizioni. Trattandosi di un modello matematico, queste posizioni iniziali sono scritte ovviamente in formule matematiche. In questo caso le formule proposte sono davvero molto semplici: esse fanno uso dell’algebra, ossia delle comuni equazioni e disequazioni apprese durante il primo/secondo anno di scuola superiore.

I fondamenti: ciò che possiamo misurare

Come sai, ogni equazione o disequazione è composta da coefficienti, ossia numeri reali, e da variabili, cioè elementi matematici di cui dobbiamo ricercare il valore (nel caso dell’equazione) o un insieme di valori (nel caso della disequazione).

Innanzitutto definiamo i protagonisti del nostro modello, ossia i coefficienti, ed indichiamo ciascuno di essi con dei simboli:

  1. N = popolazione totale;
  2. S = numero suscettibili, ossia numero di persone sane che non hanno contratto la malattia e che potrebbero contrarla (quindi sono esclusi coloro che per esempio hanno il vaccino, come nel caso della classica influenza, o non vengono mai in contatto con persone infette);
  3. I = numero degli infetti, ossia persone che hanno già contratto la malattia e non sono ancora guarite;
  4. R = numero di persone che hanno avuto la malattia e che sono guarite o sono decedute.

Adesso poniamo le formule in gioco, ossia calcoliamo il numero di persone che vengono infettate e quelle che, dopo la malattia, sono rimosse dal calcolo.

Dunque determiniamo il numero dei contagi che avvengono in un certo tempo (che indichiamo con Δt) ed il numero di rimossi. Entrambi i valori sono calcolati in funzione del tempo. Il tempo è infatti l’elemento che rende possibile la comprensione della dinamica dell’epidemia, cioè fa capire se l’epidemia è in fase di espansione e quindi non ha ancora raggiunto il picco, oppure se l’epidemia sta retrocedendo. 

Poiché il modello matematico descrive una situazione reale, è necessario prendere in considerazione tutti quegli elementi esogeni, ossia esterni all’epidemia e dunque controllabili, che influiscono sulla propagazione dell’epidemia stessa. Essi sono il numero dei contatti avuti in media da ogni persona infetta e le misure di contenimento del Sistema Sanitario.

Probabilità di essere contagiati.

Per quanto riguardo il primo elemento (numero di contatti) è evidente che, supponendo che ogni giorno ogni individuo ne incontra mediamente un altro, N individui producono un numero di contatti pari a:

\[\left(\begin{array}{c}N\\ 2\end{array}\right)=\frac{N(N-1)}{2}\]

Ne deriva che la probabilità di un soggetto suscettibile S di essere contagiato da un infetto I è:

\[\frac{2\cdot S \cdot I}{N(N-1)}\]

Questa prima formulazione ci permette di comprendere perché viene richiesto di ridurre i contatti sociali: solo attraverso la riduzione dei contatti, diminuisce matematicamente la probabilità di essere contagiati.

Numero di contagi e di rimossi

Ma quanto è il numero di contagiati in un intervallo di tempo Δt? Per rispondere basta eseguire una semplice moltiplicazione:

\[C = a \cdot S \cdot I \cdot \Delta t \]

La formula appena introdotta ci dice che il numero di contagiati è direttamente proporzionale al numero dei suscettibili e degli infetti, tutto moltiplicato per una costante a.

Essa è un valore che tiene conto del numero di contatti di ogni persona e del grado di trasmissibilità del virus. È evidente che se il virus è più trasmissibile, il numero di contagi aumenta. Così come, se il numero di contatti aumenta, il numero di contagi aumenta anche a fronte di un virus con bassa trasmissibilità. Ne deriva che se un virus è fortemente trasmissibile ed il numero di contatti aumenta, l’epidemia si sviluppa velocemente.

Ma il numero di contagi da sé non fornisce la grandezza dell’epidemia. Perché se da un lato ogni giorno un certo numeri di individui sani viene contagiato, dall’altro un certo numero di individui infetti guarisce o, nei casi peggiori, muore. Questo significa che dobbiamo calcolare il numero dei rimossi, ossia degli individui che sono stati infetti e che non lo so più e che si spera non sia più capaci di trasmettere l’epidemia. Per poter calcolare questo valore dobbiamo tenere conto del numero infetti e delle politiche del Sistema Sanitario per la cura degli infetti, come ad esempio cure ospedaliere ed isolamento. Il numero dei rimossi è:

\[R = b \cdot I \cdot \Delta t\]

Come puoi notare entrambe le formule presentate sono in funzione del tempo Δt, in quanto l’osservazione dei numeri di Suscettibili, Infetti e Rimossi avviene in precisi istanti temporali.

Congettura: la dinamica in due istanti temporali

Consideriamo adesso due istanti temporali successivi, che, per semplicità, indichiamo con t1 e t2, con t1 < t2. All’istante temporale t1, si ha un certo numero di suscettibili S1, di infetti I1 e di rimossi R1. Quando eseguiamo la rilevazione al tempo t2, avremo una modifica dei numeri del contagio, ossia ci sarà un numero di suscettibili S2, di infetti I2 e di rimossi R2.

È evidente che i numeri al tempo t2 possono essere scritti utilizzando le formule precedenti e quindi sotto forma di funzione del tempo e delle rilevazioni a t1. In particolare, si ha che il numero dei suscettibili S2 è:

\[S_{2}=S_{1}-a \cdot S_{1}\cdot I_{1} \cdot Δt – b \cdot I_{1} \cdot Δt\]

ossia il numero dei suscettibili a t2 è dato dal numero dei suscettibili a t1 meno il numero dei contagiati e dei rimossi durante l’intervallo Δt.

Il numero degli infetti I2 è dato da:

\[I_{2}=I_{1}+a \cdot S_{1}\cdot I_{1} \cdot Δt – b \cdot I_{1} \cdot Δt\]

Questa formula sta ad indicare che il numero degli infetti al tempo t2 è uguale al numero degli infetti al tempo t1 più il numero di coloro che nell’intervallo di tempo Δt sono stati contagiati, meno il numero di soggetti che nello stesso intervallo Δt sono stati rimossi.

Il numero dei rimossi R2 è dato da:

\[R_{2}= R_{1}+b \cdot I_{1} \cdot Δt\]

ossia il numero dei rimossi al tempo R1 più quelli rimossi nel tempo Δt.

Lo sviluppo dell’epidemia

A questo punto poniamo una semplice domanda: come facciamo a sapere che l’epidemia si sta espandendo? La risposta è abbastanza ovvia. L’epidemia si espande quando, osservando due istanti temporali (t1 e t2), il numero di contagiati I2 è maggiore del numero dei contagiati I1, ossia:

\[I_{2}>I_{1}\]

Scriviamo I2 in funzione dei valori al tempo t1 come calcolato sopra, ed eseguiamo tutte le semplificazioni algebriche, ossia:

\[I_{1}+a\cdot S_{1}\cdot I_{1}\cdot \Delta t-b\cdot I_{1}\cdot \Delta t>I_{1}\rightarrow\] \[a\cdot S_{1}\cdot I_{1}\cdot \Delta t-b\cdot I_{1}\cdot \Delta t>0\]

Siamo quasi arrivati alla fine dei passaggi matematici. Ricordi quando, studiando i polinomi facevi la messa in evidenza di alcuni fattori? Bene, è giunta l’ora di applicarla mettendo in evidenza il prodotto I1 · Δt, cioè:

\[I_{1}\cdot \Delta t\cdot ( a\cdot S_{1}-b )>0\]

A questo punto risolviamo la disequazione. Essa ci chiede per quali valori di a e b il prodotto dei due fattori è maggiore di zero. È evidente che il primo fattore I1 · Δt è sempre maggiore di zero (almeno fin quando ci sono infetti!). Il secondo fattore è maggiore di zero quando:

\[a\cdot S_{1}-b>0\rightarrow a\cdot S_{1}>b\rightarrow \frac{a\cdot S_{1}}{b}>1\]

Quanto ho appena provato dice che l’epidemia si espande fino a quando il numero (a·S1)/b, che da adesso in poi chiamiamo Rt, sarà maggiore di 1.

Poiché in un’epidemia il numero degli infetti e dei rimossi è sempre inferiore alla popolazione totale, possiamo dire che il numero dei suscettibili S1 è circa pari a N (ossia S1 ≈ N). Sostituendo N, si ottiene che l’epidemia si sviluppa quando :

\[R_{t}=\frac{a\cdot N}{b}>1\]

Abbiamo appena identificato il nostro numero chiave. Esso ci dice che quando Rt è maggiore di 1, allora l’epidemia è in espansione, e che quando Rt è minore di 1, l’epidemia si sta riducendo e non ha quindi luogo.

A questo punto restano due domande: come calcolare a e b? Per rispondere basta ricordare che a è la costante che indica la contagiosità del virus ed il numero di contatti degli individui. Come già detto sopra, é evidente che, riducendo il numero dei contatti, il valore di a diminuisce e quindi il numero dei contagiati diminuisce essendo il valore direttamente proporzionale a Rt.

La costante b è legata alle politiche intraprese dal Sistema Sanitario. Più si applicano misure di isolamento per gli infetti, più il valore di b aumenta. Dunque, essendo Rt un valore direttamente proporzionale ad a ed inversamente proporzionale a b, se a diminuisce e b cresce, Rt assumerà necessariamente valori inferiori ad 1. Ricorda infatti che qualunque frazione che ha numeratore minore del denominatore, ha sempre valore minore di 1.

Conclusione

Il modello matematico è una ricostruzione del mondo reale in chiave matematica. Esso utilizza le informazioni realmente presenti e, traducendole in formule, simula l’andamento della realtà in modo attendibile. L’uso della matematica nella ricerca è di fondamentale importanza per capire la realtà e prevederne i possibili scenari.

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